集合思想及应用

 

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.

 

●难点磁场

 

(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.

 

●案例探究

 

[例1]设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论.

 

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.

 

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=，这样难度就降低了.

 

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.

 

技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.

 

解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=∵∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0

 

∵A∩C=∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0

 

∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2-16>0,即b2>1①

 

∵∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0

 

∵B∩C=,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0

 

∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5②

 

由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

 

∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.

 

[例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成;另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

 

命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.

 

知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.

 

错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

 

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.

 

解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.

 

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x.

 

依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21.

 

所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.

 

●锦囊妙计

 

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

 

2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.